1981年高考作文题

1981年高考作文题篇一

1981年全国高考数学试题及其解析

1981年全国高考数学试题及其解析

文史类

一．（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.

二．（本题满分8分） 化简：[a7b2

3(ab)2][2a2b2a2a2(ba)3][] 24

三．（本题满分6分）

在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共四．（本题满分10分）

求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π五．（本题满分10分） 六．（本题满10分）

已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D七．（本题满分17分）

设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

八．（本题满分15分）

ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：

截面ACB1⊥对角面DBB1D九．（本题满分18分）

1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为3，求k2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形9时，求P

理工农医类

一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.

二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.

四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.

五、解不等式(x为未知数

):

六、用数学归纳法证明等式

对一切自然数n都成立.

七、设1980年底我国人口以10亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060

八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.

(1)求直线AB和棱a所成的角;

(2)求直线AB和平面Q所成的角.

(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

十、附加题:计入总分.

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图). 设AC=a,BC=b,作数列

U=a-b, 1

U2=a2-ab+b2,

u3=a3-a2b+ab2-b3,

……,

Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;

求证:un =un -1 +un -2 (n≥3).

文史类参考答案及解析

一、解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二、解：原式=8

3(ba)b三、解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：

AB、AC、AD、BC、BD、CD、

BA、CA、DA、CB、DB、2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：

ABC、ABD、ACD、四、解：4

是f(x)的一个周期的定义区间,故f(x)在这个区间上取得最大值2.f(x)2sin(x),所以f(x)以2为振幅,以2为周期,区间(,)恰好 五、答：sinAsinBsinC. abc证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于设△ABC的面积为S，则

S

11ACBEbcsin(180A)22 1bcsinA;2

11BCADacsinB 22

11SBCADabsinC 22

111SbcsinAacsinBabsinC 222

1sinAsinBsinC将上式除以abc,得：. 2abc又S

六、解：设AC中点为M（x,y）,则有 x02151,y

2.M(x,y)M(1,2) 22

1981年高考作文题篇二

1981年普通高考试题

1981年试题

(理工农医类)

一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.

[Key]

一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)

(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)

二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

[Key] 二、解:

所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)

AB,AC,AD,BC,BD,CD,

BA,CA,DA,CB,DB,DC.

所有可能的选举结果:

ABC,ABD,ACD,BCD.

三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是

.

[Key] 三、解: (1)必要条件

(2)充分条件

(3)充分条件

(4)充要条件

四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.

[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.

证法一:平面几何证法.

如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得

a2=CD2+DB2

=(bsinA)2+(c-bcosA)2

=b2+c2

-2bccosA.

如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得 a2=CD2+BD2

=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2

=b2+c2

-2bccosA.

如果∠A是直角,cosA=0,

∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.

证法二:解析几何证法

以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得

A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).

由两点间的距离公式得

a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2

=b2+c2

-2bccosA.

五、解不等式(x为未知数

):

[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:

故原不等式为

x2(x-a-b-c)>0.

原不等式的解是

x≠0,x>a+b+c.

六、用数学归纳法证明等式

对一切自然数n都成立.

[Key]

所以当n=1时等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立,即

所以当n=k+1时等式也成立.

根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.

七、设1980年底我国人口以10亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060

[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即

x=10×(1.02)20,

两边取对数,得

lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴ x=14.859(亿).

答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.

(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得

10×(1+y%)20≤12,

即 (1+y%)20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2.

即 lg(1+y%)≤0.00396.

∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.

答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.

八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.

(1)求直线AB和棱a所成的角;

(2)求直线AB和平面Q所成的角.

[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.

∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,

∴ ∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,

∴ CD=BE=4.

连结AC,由余弦定理得

又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥

AC.

答:直线AB和棱a所成的角等于

(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°

,AD=2,

连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以

1981年高考作文题篇三

历年高考作文题大全

历年高考作文题大全

（1949年以前—2005年）

1949年以前高校招生部分考试作文题

衣服的功用 女衣和男衣的比较

现在社会上最流行的帽类

我最喜欢穿的鞋子

饮食为什么一定要有时候 多吃的害处 我最喜欢吃的食品

烧饭法

我理想中的屋子造法

中国的家庭制度怎样改革

怎样可以和邻人和睦

家事的类别和学习的方法

烧鱼和烧肉的不同地方

我们为什么要敬崇老师

我的旅行日记

值日生的责任

报告我校运动会情形给父母信

我的小史

自满的害处

我的爱惜光阴法

益友和损友

哪一种游戏最为有好处于人身

不倒翁为什么推他不倒

什么叫“笔耕”

我的书包

我家的书橱

椅子和凳子的分别

船和车的争辩

镜子为什么能够照人

工人为什么要罢工

广告的地位研究

牛的自述

池边看鱼的乐趣

鹊究竟可以知道认得喜事么

对于《病梅馆记》的感触

风和冷暖的关系

打电话的方法怎样{1981年高考作文题}.

人生好像一年的四时

一个好风俗

我的观察人品方法

我的读书方法

中国最有名的报纸

庙宇中的神像果有灵性么

看中国地图的感受

１９５１：一年来我在课外努力地工作；论增产节约的好处

１９５２：记一件新人新事；我投身到祖国的怀抱里

１９５３：写一个你所熟悉的革命干部；记我最熟悉的一个人

１９５４：我的报考志愿是怎样决定的

１９５５：我准备怎样做一个高等学校的学生

１９５６：我生活在幸福的年代里

１９５７：我的母亲

１９５８：大跃进中激动人心的一幕

１９６０：我在劳动中受到了锻炼 １９６１：一位革命先辈的事迹鼓舞着我 １９６２：说不怕鬼；雨后（两选一） １９６３：“五一”劳动节日记 １９６４：读报有感——关于干菜的故事 １９６５：给越南人民的一封信 （１９６６—１９７６：高考中断了１１年） １９７７：“我在这战斗的一年里” （湖南试题：心中有话向党说） １９７８：缩写：“速度问题是一个重要问题” １９７９：改写：“陈依玲的故事” １９８０：读后感：《画蛋》（达·芬奇的故事） １９８１：读后感：《毁树容易种树难》 １９８２：命题：“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐” １９８３：看图作文：①说明一篇；②议论一篇（漫画《挖井》） １９８４：一段报道，关于怎样写作文 １９８５：“致光明日报编辑部的信”（关于环境污染问题） １９８６：“树木·森林·气候”（一段报道，副标题自拟） １９８７：自拟题（关于育民小学游泳训练班的简讯） １９８８：习惯 １９８９：“致青年同学的一封信”（关于报考志愿的困惑和苦恼） １９９０：①动作表情；②肖像描写；③议论５００字（素材为：玫瑰园里的花与刺） １９９１：①以圆形物体为本，写一段想象②命题——选择（“近墨者黑”、“近墨者未必黑”，辩论或议论） １９９２：①记叙；②议论（关于社会公德问题，街头雨中一景） １９９３：广播稿：关于补课报酬问题 １９９４：尝试 １９９５：①一段对话；②一篇评论（素材为诗歌《鸟的对话》）

１９９６：①说明一篇；②议论一篇（关于给六指做整形手术的两幅漫画比较，议论题为“我更喜欢”）

１９９７：自拟题（社会调查分析，素材两份，主线为“助人为乐”）

１９９８：坚韧；我追求的品格战胜脆弱（二选一）小作文：补写《妈妈只洗了一只鞋》

１９９９：假如记忆可以移植

2000：通过对四个图形符号的不同认识，谈你在生活中看问题的角度、对问题的理解、解决问题的方法以及问题的答案？

2001：诚信

2002：心灵的选择

2003： 感情的亲疏远近对认知的正误深浅的影响

2004年高考作文题：

2004年高考语文试题除全国统一命制的以外，上海、北京、天津、辽宁、江苏、浙江、福建、湖北、湖南、广东和重庆等11个省、市单独命制。

一、全国卷作文题有四套：

全国高考语文作文1：

材料：一位老妈妈有两个女儿，一个嫁给染布店老板，一个嫁给雨衣店老板，老妈妈整天担心，下雨天染布店那边的生意会不好，晴天的时候雨具店那边的生意又不好，每天都这样担心，后来有个人跟他说，你真幸福啊，无论是下雨天还是晴天都会有生意，那个老妈妈乐得不得了。

以“快乐幸福与思维方式”为话题写一篇作文

全国高考语文作文2：（河北省，山东省等）

阅读下面四句话：

走自己的路，让别人说去吧！（但丁）

常问路的人不会迷失方向。（谚语）

要仔细听取别人提出的缺点，不要随便指责向你提出意见的人。（达.芬奇）

相信任何人与不相信任何人，一样是错误的。

四句各有各的说法，有人说，还是相信自己吧。请你以“相信自己与善于听取别人意见”为话题写一篇作文。题目自拟，体裁，文意自定。不少于800字

全国高考语文作文3：（上海等地区）

阅读下面的文字，根据要求作文(60分)

某网站“4220聊天室”有这样一段谈话：

A：快乐的人生，也会有痛苦。有的人能直面挫折，化解痛苦；有的人却常常夸大挫折，放大痛苦。

B：是呀，有的人能把不小心打破一个鸡蛋，放大成失去一个养鸡场的痛苦。

C：考试失手，竞争失利，恋爱失败，亲友失和，面子失落，哪怕是其中的一点点，都是无法排解的痛苦啊！

请以“遭遇挫折和放大痛苦”为话题，自定立意，自选文体，自拟标题，写一篇不少于800字的文章。所写内容必须在话题范围之内。

全国高考语文作文4：

有位农妇不小心打破了一个鸡蛋，这本是一件再平常不过的事，但这位农妇却沿这种思路想下去了：一个鸡蛋经孵化后

就可变成一只小鸡，小鸡长大后成了母鸡，母鸡又可下很多蛋，蛋又可孵化很多母鸡。最后农妇大叫一声：“天哪！我失去了一个养鸡场。”可以想象农妇将会怎样痛苦下去。

失去一个鸡蛋的痛苦竟放大成失去一个养鸡场的痛苦，在常人看来的确有点荒诞，但生活中这种人大有人在。孩子生病了，焦急的母亲一边守着病儿，一边又焦急地想着孩子的学习肯定耽误了，误了学习肯定影响升学，影响了升学肯定影响就业。如此这般这位母亲会被痛苦煎熬得像热锅上的蚂蚁。放大了痛苦有可能将这个家击倒。上班路上，因车子晚点，有可能要迟到，这也是一件平常的事。但有人却不这样认为：迟到了肯定要招致领导的批评，同时还会影响奖金，从而影响年终考核，还会影响晋升，还会„„总之还可引申出无数的“还会”。如此，再坚强的心也会被击垮。

我们总觉得活得很累，我们总有排泄不完的痛苦，这是为什么？原因很多，但其原因之一肯定是常犯一种错误———放大痛苦。我们难免失误，但如果我们只着眼眼前的错误，就事论事，不泛化，不扩大，不追究以前，也不浮想未来，这样痛苦就被包裹了，就局限了，痛苦就小多了，人生也就轻松多了。{1981年高考作文题}.

请以“遭遇挫折与放大痛苦”为话题写一篇作文

二、上海卷高考作文题：（70分）

以“忙”为题写一篇文章。要求：题目自拟，1000字左右，不要写成诗歌。

三、北京高考作文题：命题作文：包容，800字左右，文体不限。

北京高职单独招生作文

“时尚”是社会在一定时间段流行的习俗和风气，有人也称之为“时髦”或“新潮”。在当今的现实生活中，五花八门、形形色色的“时尚”竞相展示着它们的身姿，赢得了一部分人，尤其是年轻人的青睐。他们追求“时尚”、创造“时尚”并享受“时尚”，但是人们对“时尚”的认识却不尽相同，可谓见仁见智，赞赏艳羡者有之；指责排斥者有之。请以《时尚》为题写一篇不少于800字的作文。

四、广东卷：

古时东瓯人(今浙江南部沿海一带)住的是茅屋,经常发生火灾,为此痛苦不已.有个东瓯商人到晋国去,听说晋国有个叫冯妇的人善于搏虎,凡是他出现之处就无虎.东瓯商人回去后把这个消息告诉了国君.由于东瓯话"火"和"虎"的读音毫无区别,国君误以为冯妇善于扑火,便以隆重的礼节从晋国请来了冯妇.第二天市场上失了火了,大家跑去告诉冯妇,冯妇捋起袖子跟着人跑出去,却找不到虎.大火烧到了王宫,大家推着冯妇往火里冲,冯妇被活活烧死.那个商人也因此而获罪.

上述寓言中的人物由于语言沟通的问题,彼此一再产生误解,以致冯妇葬身火海.由此可见,语言上的沟通成功与否,有时影响巨大.请以"语言与沟通"为话题写一篇文章,可结合个人见闻、感受或学习语言的体会.

五、辽宁高考作文题：

“平凡与自豪”，文体不限。

六、湖南：{1981年高考作文题}.

目前，我国18岁以下未成年人已达3.69亿，在每个孩子背后是一双双深情关注的眼睛，家长对孩子教育的重视超过了以往任何一个时代。中国的家庭教育，也有了长足的进步，现代教育观念向家庭的渗透，家长与孩子民主平等关系的建立，家长们春风化雨般的言传身教......都给我们留下了深刻印象，但中国目前的家庭教育，也存在不少问题。

家庭教育对青少年的成长无疑具有举足轻重的作用，你对家庭教育一定有自己的感受和思考，请以“家庭教育”为话题，写一篇文章。除诗歌外，体裁不限，角度自拟，不少于800字。

七、福建：

以名人曹操、苏轼、薛宝钗，霍金，宋江，鲁迅，孔子，曾国藩，冬妮娅 ，桑地亚哥为内容。题材不限

1981年高考作文题篇四

1981年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案

一．（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B. 解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）

在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：

AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、三．（本题满分8分）

下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还

1

四．（本题满分8分）

写出余弦定理（只写一个公式即可）证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得：

a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b2+c2-2bccosA.

五．（本题满分10分） 解不等式（x为未知数）：

xaa

a

bxbb

cc0. xc

Y

解：右式=x2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x≠六．（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式

2

cos

xxxxcos2cos3cosn2222

sinxx

2sinn

2

n

对一切自然数n七．（本题满分15分）

设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

解：1.所求人口数x（亿）是等比数列

10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即

x=10×（1.02）20,

两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴x=14.859（亿)

2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得

10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.

3

根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 八．（本题满分17分）

在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB和棱a所成的角; 2．求直线AB和平面Q解：1.在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，

F D C

从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点∴∠ABC等于AB和a∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，

∴∠ADC=1200AD=2，BCDE为矩形，∴连接AC，由余弦定理得AC27.

又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACDBC∥a得知

BC垂直于△ACD所在的平面，∴BC⊥在直角△ABC中，sinABC

AC7

, AB5

4

ABCarcsin

7 5

2．在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点因为△ACD所在的平面⊥平面Q，∴AF⊥平面在△ADF中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=2sin603

连结BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，而△ABF为直角三角形，所以sinABF

AF33

.ABFarcsin. AB1010

九．（本题满分17分）

y2

给定双曲线x1.

2

2

1．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;解：设直线L的方程为

y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：

(2k2)x2(4k22k)x4k24k30 (2)

又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(,),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有

4k22k2x1x22(k20).

k2

5

1981年高考作文题篇五

1981年高考理科数学试题

1981年高考数学试题

(理工农医类)

一、设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出:(1)A∪B，(2)A∩B.

[Key]

一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R，或A∪B=实数集合.)

(2)A∩B=.(或A∩B={ }，或A∩B=空集.)

二、在A、B、C、D四位候选人中，(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人，共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

[Key] 二、解:

所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)

AB，AC，AD，BC，BD，CD，

BA，CA，DA，CB，DB，DC.

所有可能的选举结果:

ABC，ABD，ACD，BCD.

三、下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.

[Key] 三、解: (1)必要条件

(2)充分条件

(3)充分条件{1981年高考作文题}.

(4)充要条件

四、写出余弦定理(只写一个公式即可)，并加以证明.

[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.

证法一:平面几何证法.

如果∠A是锐角，从C作AB的垂线交AB于D，于是由勾股定理得

a2=CD2+DB2

=(bsinA)2+(c-bcosA)2

=b2+c2-2bccosA.

如果∠A是钝角，从C作AB的垂线交BA的延长线于D，于是由勾股定理得

a2=CD2+BD2

=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2

=b2+c2-2bccosA.

如果∠A是直角，cosA=0，

∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.

证法二:解析几何证法

以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得

A(0，0)，B(c，0)，C(bcosA，bsinA).

由两点间的距离公式得

a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2

=b2+c2-2bccosA.

“高中数学教师俱乐部”QQ群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入。{1981年高考作文题}.

注：该群为教师群，拒绝学生申请。

五、解不等式(x为未知数):

[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:

故原不等式为

x2(x-a-b-c)>0.

原不等式的解是

x≠0，x>a+b+c.

六、用数学归纳法证明等式

对一切自然数n都成立.

[Key]

所以当n=1时等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立，即

所以当n=k+1时等式也成立.

根据(i)和(ii)，就证明了对于一切自然数n等式都成立.

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七、设1980年底我国人口以10亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少?

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少? 下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417

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